Remko Pasveer begon zijn carrière in zijn geboortestad, bij FC Twente. Zijn loopbaan bracht hem onder andere bij Heracles Almelo en PSV. Sinds 2017 stond de doelman onder contract bij Vitesse. In de zomer van 2021 tekende hij een contract in Amsterdam. In september van dat jaar debuteerde hij tegen PEC Zwolle.