Klaassen werd op 21 februari 1993 geboren in Hilversum. Hij doorliep in Amsterdam de jeugdopleiding en debuteerde op 22 november 2011 in de UEFA Champions League-wedstrijd Olympique Lyon – Ajax: 0-0. Na het seizoen 2016/2017, waarin Ajax met Klaassen tot de finale van de UEFA Europa League reikte, vertrok hij naar het Engelse Everton. Tussen 2018 en 2020 speelde de middenvelder voor Werder Bremen, om twee jaar later terug te keren bij Ajax.
Klaassen speelde verdeeld over de twee periodes 321 wedstrijden voor de hoofdmacht en heeft 93 goals en 50 assists op zijn naam staan. Ook werd Klaassen vijfmaal landskampioen (2012, 2013, 2014, 2021 en 2022) met Ajax. Daarnaast won hij in 2013 de Johan Cruijff Schaal en in 2021 de KNVB Beker. In 2016 werd de speler verkozen tot Voetballer van het Jaar.
