Pasveer (Enschede, 8 november 1983) begon zijn carrière bij FC Twente, waarna hij onder meer de clubkleuren van Heracles Almelo, PSV en Vitesse verdedigde. Op 23 april 2021 maakte hij de overstap van Vitesse naar Ajax. De tweevoudig international maakte op 7 augustus 2021 zijn debuut in het eerste elftal van Ajax, in de wedstrijd om de Johan Cruijff Schaal tegen PSV. Hij keepte tot nu toe 93 officiële wedstrijden voor Ajax 1 en werd in het seizoen 2021/2022 landskampioen met de club.
Alex Kroes: "Remko is met al zijn ervaring een belangrijke schakel in de selectie, zowel binnen als buiten de lijnen. Hij is een voorbeeld van iemand die echt leeft voor de sport. Het afgelopen seizoen heeft hij een zeer goed seizoen gespeeld als eerste keeper en dus bewezen dat hij nog altijd zijn mannetje staat. Wij hebben hem er daarom ook dit seizoen weer graag bij, hij heeft dit extra jaar zelf verdiend."
