Pasveer (Enschede, 8 november 1983) begon zijn carrière bij FC Twente, waarna hij onder meer bij Heracles Almelo, PSV en Vitesse onder de lat stond. Op 23 april 2021 maakte hij transfervrij de overstap van Vitesse naar Ajax. In Amsterdam tekende hij destijds voor twee seizoenen.
De tweevoudig international maakte op 7 augustus 2021 zijn debuut in het eerste elftal van Ajax, in de wedstrijd om de Johan Cruijff Schaal tegen PSV: 0-4. Hij keepte tot nu toe vijftig officiële wedstrijden voor Ajax 1 en werd in het seizoen 2021/2022 landskampioen met de club.
Pasveer verlengt met een jaar: 'Denk dat ik wel belangrijk kan zijn voor Ajax'
Remko Pasveer blijft minimaal nog voor een jaar verbonden aan Ajax. De goalie zette een handtekening onder een contract tot medio 2024. "Ik heb nog steeds plezier in het spelletje en met name hier bij Ajax. Dat is de hoofdreden dat ik mijn contract heb verlengd. Ik wil dit zo lang mogelijk blijven doen."
